Velocidad media, v. instantánea, aceleración media y a. instantánea: Aceleración instantánea

Se define la aceleración instantánea, o simplemente aceleración, como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define de manera equivalente como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:

a \to = lim Δ t \to 0 a \to m = lim Δ t \to 0 Δ v \to Δ t = d v \to d t

donde:

a→ : Es la aceleración del cuerpo
a→m : Vector aceleración media
Δv→ : Vector variación de la velocidad
Δ t : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinitamente pequeño

La aceleración es una magnitud vectorial. La ecuación de dimensiones de la aceleración instantánea es [a] = LT-2 y por tanto su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado [m/s2].

Podrás encontrar el vector aceleración escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:

vector aceleración en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:

$a \to = a x i \to + a y j \to + a z j \to = (lim Δ t \to 0 Δ v x Δ t) i \to + (lim Δ t \to 0 Δ v y Δ t) j \to + (lim Δ t \to 0 Δ v z Δ t) j \to = d v x d t i \to + d v y d t j \to + d v x d t j \to$
vector aceleración en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:

$a \to = a x i \to + a y j \to = (lim Δ t \to 0 Δ v x Δ t) i \to + (lim Δ t \to 0 Δ v y Δ t) j \to = d v x d t i \to + d v y d t j \to$

Como puedes observar, la aceleración instantánea es una magnitud vectorial que cumple:

Su módulo se puede expresar:
- Mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:
  
  $∣ ∣ a \to ∣ ∣ = a 2 x + a 2 y + a 2 z - - - - - - - - - - \sqrt$
- Mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones:
  
  $∣ ∣ a \to ∣ ∣ = a 2 x + a 2 y - - - - - - \sqrt$
Su dirección y sentido, en general, no coincide con la del vector velocidad sino que dependen del cambio que experimente esta.

No confundas las componentes cartesianas de la aceleración con las componentes intrínsecas, que estudiaremos en apartados posteriores. Las componentes cartesianas son, simplemente, la descomposición del vector aceleración en los ejes cartesianos. Las componentes intrínsecas son la descomposición del vector aceleración en el sistema de referencia propio o intrínseco del movimiento, como estudiarás en el apartado dedicado a ello.

Por último indicarte que, al igual que cualquier otro vector, es posible que en ocasiones encuentres el vector aceleración escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector aceleración por un vector unitario con la misma dirección y sentido que a→ y que llamaremos u→a por ser el vector unitario que contiene la dirección del vector aceleración.

a \to = a \cdot u \to a

EJEMPLO: Un meteorito se desplaza por el cielo con una velocidad v⃗(t) = (1+4\cdott) i⃗+t 2 j⃗ m . Calcular:

a) Su aceleración media entre los instantes t1=2 sg y t2=4 sg.
b) Su aceleración en el instante t3=6 sg.

Cuestión a)

Datos

v⃗(t) = (1+4·t) i⃗+t2 j⃗ m

t1=2 sg y t2=4 sg

Resolución

Para calcular la aceleración media debemos hacer uso de la siguiente ecuación:

a \to m = v \to 2 - v \to 1 t 2 - t 1 = Δ v \to Δ t

Conocemos t1 y t2. Ahora nos falta calcular la velocidad en el instante t1 (v⃗1) y en el instante t2 (v⃗2). Para ello basta sustituir en la ecuación de velocidad que nos han proporcionado en el enunciado del ejercicio:

Para t1=2 sg

v \to 1 = v (2) = (1 + 4 \cdot 2) \cdot i \to + (2) 2 \cdot j \to m / s g \Rightarrow v \to 1 = 9 \cdot i \to + 4 \cdot j \to m / s g

Para t2=4 sg

v \to 2 = v \to (4) = (1 + 4 \cdot 4) \cdot i \to + (4) 2 \cdot j \to m / s g \Rightarrow v \to 2 = 17 \cdot i \to + 16 \cdot j \to m / s g

Sustituyendo en la primera ecuación:

a \to m = ( 17 - 9 ) \cdot i \to + ( 16 - 4 ) \cdot j \to 4 - 2 m / s g 2 \Rightarrow a \to m = 8 \cdot i \to + 12 \cdot j \to 2 m / s g 2 \Rightarrow a \to m = 4 \cdot i \to + 6 \cdot j \to m / s g

Cuestión b)

Datos

v⃗(t) = (1+4·t) i⃗+t2 j⃗ m
t3= 6 sg

Resolución

Para calcular la aceleración en el instante t3 debemos calcular previamente la aceleración instantánea:

a \to = lim Δ t \to 0 a \to m = lim Δ t \to 0 Δ v \to Δ t = d v \to d t

Aplicando la derivada de la velocidad con respecto al tiempo obtenemos que:

a (t) - \to - = 4 \cdot i \to + 2 \cdot t \cdot j \to m / s g 2

y sustituyendo el valor de t3=6 sg.

a (6) - \to - = 4 \cdot i \to + 2 \cdot 6 \cdot j \to m / s g 2 \Rightarrow a (6) - \to - = 4 \cdot i \to + 12 \cdot j \to m / s g 2

Velocidad media, v. instantánea, aceleración media y a. instantánea

domingo, 4 de diciembre de 2016

Aceleración instantánea

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